边缘概率
条件概率
联合概率
例1、Joe对于一种疾病作了检查。用变量a表示Joe的健康状态,用b表示检查结果。
检查结果或者是阳性(b=1),或者是阴性(b=0)。假设检查结果是95%可靠的:得了这种疾病的人95%会被检查出阳性结果,未得这种病的人95%会被检查出阴性结果。另外,具有Joe这个年龄和背景的人只有1%会患这种病。
现在,Joe作了检查,并且检查结果呈阳性。请问,Joe患病的概率是多少?
解答:检查可靠性给出了已知a的前提下b的条件概率
这种疾病的流行程度告诉我们a的边缘概率
由边缘概率P(a)和条件概率P(b|a),可以推得联合概率P(a,b)=P(a)P(b|a).
另外,根据加法律,b=1的边缘概率P(b=1)=P(b=1|a=1)P(a=1)+P(b=1|a=0)P(a=0)。
根据贝叶斯定理,检查结果为阳性的条件下,Joe患病的概率为
前向概率和后向概率
例1、一个罐子中装着K个球,其中B个为黑色,W=K-B个为白色,Fred随机从这个罐子中取出一个球,再放回去,如此反复N次。
(a)取到黑球的次数服从什么概率分布?
(b)的期望值是多少?的方差是多少?的标准方差是多少?
解答:显然服从二项分布。
定义。
例2、