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概率论知识

边缘概率

条件概率

联合概率

例1、Joe对于一种疾病作了检查。用变量a表示Joe的健康状态,用b表示检查结果。

QQ截图20150802211912

检查结果或者是阳性(b=1),或者是阴性(b=0)。假设检查结果是95%可靠的:得了这种疾病的人95%会被检查出阳性结果,未得这种病的人95%会被检查出阴性结果。另外,具有Joe这个年龄和背景的人只有1%会患这种病。

现在,Joe作了检查,并且检查结果呈阳性。请问,Joe患病的概率是多少?

解答:检查可靠性给出了已知a的前提下b的条件概率

QQ截图20150802212504

这种疾病的流行程度告诉我们a的边缘概率

QQ截图20150802212551

由边缘概率P(a)和条件概率P(b|a),可以推得联合概率P(a,b)=P(a)P(b|a).

另外,根据加法律,b=1的边缘概率P(b=1)=P(b=1|a=1)P(a=1)+P(b=1|a=0)P(a=0)。

根据贝叶斯定理,检查结果为阳性的条件下,Joe患病的概率为

QQ截图20150802213031

 

前向概率和后向概率

例1、一个罐子中装着K个球,其中B个为黑色,W=K-B个为白色,Fred随机从这个罐子中取出一个球,再放回去,如此反复N次。

(a)取到黑球的次数n_{B}服从什么概率分布?

(b)n_{B}的期望值是多少?n_{B}的方差是多少?n_{B}的标准方差是多少?

解答:显然n_{B}服从二项分布。

定义f_{B}=B/K

QQ截图20150802214031

QQ截图20150802214058QQ截图20150802211912

 

例2、