超分辨率阅读笔记（一）

本文主要是对R. Zeyde, M. Elad, and M. Protter, On Single Image Scale-Up using Sparse-Representations, LNCS 2010 一文的阅读笔记。

问题模型：一张原始高分辨率图片$y_{h}\in R^{N_{h}}$，代表一个长为$N_{h}$的向量。H：$R^{N_{h}}\rightarrow R^{N_{h}}$和S：$R^{N_{h}}\rightarrow R^{N_{l}}$  $(N_{l}<N_{h})$分别代表blur和decimation操作。

$z_{l}=SHy_{h}+v$ where $(v\backsim N(0,\sigma^{2}I)$

给定$z_{l}$，目标就是去寻找$\hat{y_{h}}\in R^{N_{h}}$使得$\hat{y_{h}}\approx y_{h}$

由于$v$是高斯噪声分布，所以最大似然估计可以通过对$\lVert SHy_{h}-z_{l}\rVert_{2}$的最小化。（最小二乘法与最大似然估计的联系）。

$SH\in R^{N_{l}\times N{h}}$，显然其行数小于列数，导致其逆不稳定，从而会产生无穷多解。现有的方法都是为了使这个逆稳定，例如Tikhonov regularization, robust statistics and Total-Variation, sparsity of transform coefficients, and all the way to example-based techniques that use training set of images as priors.